Réponse harmonique des systèmes fondamentaux
Réponse harmonique d'un système à action proportionnelle (gain pur)
La transmittance s'écrit :
Soit :
|  |
Gain en dB :
Déphasage :
Réponse harmonique d'un système intégrateur
La transmittance s'écrit :
Soit :
|  |
Gain en dB :
→ droite de pente -20dB/décadeDéphasage :
Réponse harmonique d'un système du premier ordre
Un système d'ordre 1 (de classe 0) a pour fonction de transfert :
|  |
Soit
et
Gain en dB :
Déphasage :
Asymptote du lieu de transfert du gain :
Lorsque
,
: asymptote horizontale à l'origine.
Lorsque
,
: asymptote de pente -20 dB/décade qui croise l'asymptote horizontale au point d'abscisse
Asymptote du lieu de transfert du déphasage :
Lorsque
,
: asymptote horizontale à l'origine.
Lorsque
,
: asymptote horizontale en l'infini.
Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) :
donc
donc
soit la moitié du déphasage en
.
Réponse harmonique d'un système du second ordre
Un système d'ordre 2 (de classe 0) a pour fonction de transfert :
|  |
Soit
Gain en dB :
Soit
Déphasage :
et
Comme dans le cas de l'analyse temporelle des système du second ordre, on distingue donc 3 régimes de fonctionnement correspondant à des pôles réels (
), complexes (
) ou à un pôle double (
). Toutefois, certaines caractéristiques sont communes à ces 3 régimes de fonctionnement. Elles sont données ci-après.
Caractéristiques communes au 3 régimes de fonctionnement
Asymptote du lieu de transfert du gain :
Lorsque
,
: asymptote horizontale à l'origine.
Lorsque
,
: asymptote de pente -40 dB/décade qui croise l'asymptote horizontale au point d'abscisse
Asymptote du lieu de transfert du déphasage :
Lorsque
,
: asymptote horizontale à l'origine.
Lorsque
,
: asymptote horizontale en l'infini.
Point caractéristique de la courbe (pulsation de cassure) :
donc pour
, le déphasage est de -90° soit la moitié du déphasage en
.
Régime apériodique (système amorti) : ξ>1
Le dénominateur de la fonction de transfert possède 2 racines réelles (ou pôle réels), il se met sous la forme :
Dans le domaine fréquentiel,
Et donc :
Gain en dB :
Déphasage :
Ainsi, le diagramme de Bode se construit comme la somme de deux systèmes du premier ordre de pulsations de cassure
et
et de gains statiques respectifs
et
.
Régime apériodique critique (amortissement critique) : ξ=1
C'est un cas particulier du précédent avec
.
Les asymptotes du diagramme de Bode du gain passent directement de 0 dB/décade à -40 dB/décade pour
.
Les asymptotes du diagramme de Bode du déphasage passent directement de 0° à -180° pour
.
Régime pseudo-périodique (système sous-amorti) : ξ<1
En plus des caractéristiques communes aux trois régimes de fonctionnement, lorsque
, le gain peut présenter un maximum, supérieur au gain statique
. On parle alors de résonance.
Résonance :
S'il existe, le maximum de la courbe du gain en dB est obtenu à la pulsation de résonance
telle que
.
Or on montre que
Soit
, avec
Conclusions :
Si
, la courbe de gain est toujours décroissante (il n'y a pas de résonance)Si
, la courbe de gain présente un maximum pour la pulsation de résonance
On définit dans ce cas un facteur de résonance ou coefficient de surtension :
Ainsi,
Le facteur de résonance est souvent donné en dB et peut alors être mesuré sur le diagramme de Bode :
Remarque :
A partir d'un lieu de transfert expérimental correspondant à l'allure d'un système d'ordre 2, on peut procéder à une identification en utilisant :
Les basses pulsations pour trouver le gain du système.
L'intersection des asymptotes pour trouver la pulsation propre du système non amorti.
Le facteur de résonance pour trouver le coefficient d'amortissement s'il y a résonance, ou bien la "distance algébrique" en
de l'asymptote horizontale
à la courbe de gain pour
(cette distance est égale à
).
